Завдання № 10.20. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть кути трикутника, вершинами якого є точки $A(-3;0)$, $B(0;4)$ і $C(4;1)$. З’ясуйте вид трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження координат векторів сторін трикутника та їхніх довжин
Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат його кінця та початку:

Обчислимо довжини (модулі) сторін трикутника:

Оскільки довжини двох сторін рівні ($AB=BC=5$), трикутник $△ABC$ є рівнобедреним з основою $AC$.

2. Обчислення кута $\angle B$
Кут $B$ утворений векторами $\overrightarrow{BA}$ та $\overrightarrow{BC}$. Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{BA}$:
$\overrightarrow{BA}=(-3;-4)$

Знайдемо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{BA}$ та $\overrightarrow{BC}$:
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(-3)\cdot 4+(-4)\cdot (-3)=-12+12=0$

Оскільки скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, ці вектори взаємно перпендикулярні:
$\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}⟹\angle B=90^{\circ }$

3. Обчислення кутів $\angle A$ і $\angle C$ та визначення виду трикутника
Оскільки $△ABC$ є рівнобедреним із вершиною в точці $B$ та прямокутним, кути при його основі $AC$ рівні між собою:
$\angle A=\angle C=\frac{180^{\circ }-\angle B}{2}=\frac{180^{\circ }-90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

Перевіримо кут $A$ за формулою косинуса кута між векторами $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$:
$\cos \angle A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}=\frac{3\cdot 7+4\cdot 1}{5\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{21+4}{25\sqrt{2}}=\frac{25}{25\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Отже, $\angle A=45^{\circ }$.

Таким чином, $△ABC$ — прямокутний рівнобедрений трикутник.

Відповідь: $\angle A=45^{\circ }$, $\angle B=90^{\circ }$, $\angle C=45^{\circ }$; трикутник $△ABC$ — прямокутний рівнобедрений.