Завдання № 10.19. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Дано вектори $a (1; 0)$ і $b (- 2; 2)$ . Знайдіть кут між векторами $a$ і $b$ .

Покроковий розв’язок:

Кут $φ$ між двома ненульовими векторами $a (x_{1}; y_{1})$ та $b (x_{2}; y_{2})$ визначається за формулою косинуса кута через скалярний добуток та довжини (модулі) векторів:

cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}

1. Обчислення скалярного добутку векторів

За формулою скалярного добутку векторів у координатах:

a \cdot b = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}

Підставимо координати заданих векторів:

a \cdot b = 1 \cdot (- 2) + 0 \cdot 2 = - 2 + 0 = - 2

2. Обчислення довжин (модулів) векторів

Модуль вектора дорівнює квадратному кореню із суми квадратів його координат:

∣ a ∣ = 1^{2} + 0^{2} = 1 + 0 = 1 = 1 ∣ b ∣ = (- 2)^{2} + 2^{2} = 4 + 4 = 8 = 22

3. Знаходження косинуса кута та градусної міри кута

Підставимо отримані значення у формулу косинуса кута:

cos φ = \frac{- 2}{1 \cdot 2 2} = \frac{- 2}{2 2} = - \frac{1}{2} = - \frac{2}{2}

Кут між векторами може набувати значень від $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ . Оскільки косинус від’ємний, шуканий кут є тупим:

φ = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

Відповідь: $13 5^{\circ}$

Завдання № 10.19. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку