Завдання № 10.18. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Дано вектори $a (3; 0)$ і $b (2; 2)$ . Обчисліть кут між векторами $a$ і $b$ .

Покроковий розв’язок:

Кут $φ$ між двома ненульовими векторами $a (x_{1}; y_{1})$ та $b (x_{2}; y_{2})$ визначається за формулою:

cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}

1. Обчислення скалярного добутку векторів:
Скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами, дорівнює сумі добутків відповідних координат:

a \cdot b = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 6 + 0 = 6

2. Обчислення довжин (модулів) векторів:
Довжина вектора дорівнює квадратному кореню із суми квадратів його координат:

∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 3^{2} + 0^{2} = 9 + 0 = 9 = 3

∣ b ∣ = x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 4 + 4 = 8 = 4 \cdot 2 = 22

3. Знаходження косинуса кута між векторами:
Підставимо знайдені значення скалярного добутку та модулів у формулу косинуса кута:

cos φ = \frac{6}{3 \cdot 2 2} = \frac{6}{6 2} = \frac{1}{2}

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу, помноживши чисельник і знаменник на $2$ :

cos φ = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{2}

4. Визначення величини кута:
Оскільки $cos φ = \frac{2}{2}$ і кут між векторами лежить у межах від $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ , маємо:

φ = 4 5^{\circ}

Відповідь:
$4 5^{\circ}$