Завдання № 10.13. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що вектори $\overrightarrow{p}(4;-3)$ і $\overrightarrow{q}(6;8)$ взаємно перпендикулярні.

Покроковий розв’язок:

1. Ознака перпендикулярності векторів
За ознакою перпендикулярності двох ненульових векторів, вектори $\overrightarrow{p}$ і $\overrightarrow{q}$ є взаємно перпендикулярними ($\overrightarrow{p}\perp \overrightarrow{q}$) тоді й тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:
$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=0$

Переконаємося, що дані вектори є ненульовими, обчисливши їхні довжини (модулі):
$|\overrightarrow{p}|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\ne 0$
$|\overrightarrow{q}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ne 0$

2. Обчислення скалярного добутку за координатами
Якщо вектори задано координатами $\overrightarrow{p}(x_1;y_1)$ та $\overrightarrow{q}(x_2;y_2)$, то їхній скалярний добуток обчислюється за формулою:
$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2$

Підставимо відповідні координати векторів $\overrightarrow{p}(4;-3)$ і $\overrightarrow{q}(6;8)$:
$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=4\cdot 6+(-3)\cdot 8=24-24=0$

3. Висновок
Оскільки скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю ($\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=0$), кут між ними дорівнює $90^{\circ }$, тобто вектори $\overrightarrow{p}$ і $\overrightarrow{q}$ є взаємно перпендикулярними ($\overrightarrow{p}\perp \overrightarrow{q}$). Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено, оскільки $\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=0$, отже, $\overrightarrow{p}\perp \overrightarrow{q}$.