Завдання № 10.12. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Доведіть, що вектори $m (- 1; 10)$ і $n (20; 2)$ взаємно перпендикулярні.

Покроковий розв’язок:

1. Критерій перпендикулярності векторів

Два ненульові вектори взаємно перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0

Вектори $m (- 1; 10)$ та $n (20; 2)$ є ненульовими, оскільки їхні координати відмінні від нуля.

2. Обчислення скалярного добутку векторів у координатній формі

Скалярний добуток двох векторів, заданих координатами $a (x_{1}; y_{1})$ та $b (x_{2}; y_{2})$ , дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат:

m \cdot n = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}

Підставимо координати заданих векторів:

m \cdot n = (- 1) \cdot 20 + 10 \cdot 2 = - 20 + 20 = 0

3. Висновок

Оскільки скалярний добуток векторів дорівнює нулю ( $m \cdot n = 0$ ), за теоремою про перпендикулярність векторів маємо:

m ⊥ n

Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено, що $m ⊥ n$ .