Завдання № 10.10. § 10. Скалярний добуток векторів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ дорівнює $\phi$. Знайдіть скалярний добуток $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$, якщо:

1) $|\overrightarrow{a}|=5$, $|\overrightarrow{b}|=2$, $\phi =30^{\circ }$;

2) $|\overrightarrow{a}|=4$, $|\overrightarrow{b}|=1$, $\phi =60^{\circ }$;

3) $|\overrightarrow{a}|=2$, $|\overrightarrow{b}|=1$, $\phi =135^{\circ }$;

4) $|\overrightarrow{a}|=10$, $|\overrightarrow{b}|=5$, $\phi =180^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

За означенням, скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку їхніх модулів на косинус кута між ними:

1. Обчислюємо скалярний добуток для першого випадку:
Підставимо задані значення $|\overrightarrow{a}|=5$, $|\overrightarrow{b}|=2$ та $\phi =30^{\circ }$:

Оскільки $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, маємо:

2. Обчислюємо скалярний добуток для другого випадку:
Підставимо значення $|\overrightarrow{a}|=4$, $|\overrightarrow{b}|=1$ та $\phi =60^{\circ }$:

Оскільки $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, маємо:

3. Обчислюємо скалярний добуток для третього випадку:
Підставимо значення $|\overrightarrow{a}|=2$, $|\overrightarrow{b}|=1$ та $\phi =135^{\circ }$:

За формулою зведення або властивістю косинуса тупого кута:

Тоді:

4. Обчислюємо скалярний добуток для четвертого випадку:
Підставимо значення $|\overrightarrow{a}|=10$, $|\overrightarrow{b}|=5$ та $\phi =180^{\circ }$:

Оскільки $\cos 180^{\circ }=-1$, маємо:

Відповідь:

1) $5\sqrt{3}$;

2) $2$;

3) $-\sqrt{2}$;

4) $-50$.