Завдання № 1. Завдання для перевірки знань до §§ 18–24 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано пряму $a$ і точку $M$, що їй не належить. Побудуйте точку $M^{\prime }$, симетричну точці $M$ відносно прямої $a$.

Покроковий розв’язок:

За означенням осьової симетрії, дві точки $M$ і $M^{\prime }$ є симетричними відносно прямої $a$, якщо пряма $a$ є серединним перпендикуляром до відрізка $M{M}^{\prime }$ (тобто $M{M}^{\prime }\perp a$ і пряма $a$ ділить відрізок $M{M}^{\prime }$ навпіл).

1. Проведення перпендикуляра:
Через точку $M$ проводимо пряму, перпендикулярну до даної прямої $a$. Точку перетину цих прямих позначимо як $O$. Отримуємо $MO\perp a$.

2. Відкладання рівного відрізка:
На проведеній прямій від точки $O$ у протилежний бік від прямої $a$ (у півплощину, що не містить точку $M$) відкладаємо відрізок $O{M}^{\prime }$, довжина якого дорівнює довжині відрізка $OM$:
$O{M}^{\prime }=OM$

3. Обґрунтування побудови:
Оскільки відрізок $M{M}^{\prime }$ перпендикулярний до прямої $a$, а точка $O$ є його серединою ($OM=O{M}^{\prime }$), то пряма $a$ є серединним перпендикуляром відрізка $M{M}^{\prime }$. Отже, точка $M^{\prime }$ є шуканою точкою, симетричною точці $M$ відносно прямої $a$.

Відповідь: Точка $M^{\prime }$ побудована на прямій, що проходить через точку $M$ перпендикулярно до прямої $a$ ($MO\perp a$), по інший бік від неї на відстані $O{M}^{\prime }=OM$.