Завдання № 1. Завдання для перевірки знань до §§ 11–14 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику проти сторони $a$ лежить кут $20^{\circ }$, а проти сторони $b$ — кут $70^{\circ }$. Які з рівностей правильні:

1) $\frac{a}{\sin 70^{\circ }}=\frac{b}{\sin 20^{\circ }}$;

2) $\frac{a}{\sin 20^{\circ }}=\frac{b}{\sin 70^{\circ }}$;

3) $\frac{a}{\cos 20^{\circ }}=\frac{b}{\cos 70^{\circ }}$;

4) $\frac{a}{b}=\frac{\sin 20^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}$.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми синусів
За теоремою синусів сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

За умовою задачі проти сторони $a$ лежить кут $\alpha =20^{\circ }$, а проти сторони $b$ — кут $\beta =70^{\circ }$.

Підставивши ці дані у формулу, маємо:

Цей вираз повністю збігається з рівністю під номером 2). Отже, рівність 2) — правильна.

2. Аналіз похідних пропорцій
Використаємо основну властивість пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.
З рівності $\frac{a}{\sin 20^{\circ }}=\frac{b}{\sin 70^{\circ }}$ випливає:

Поділивши обидві частини рівності на $b\cdot \sin 70^{\circ }$ (де $b\ne 0$ і $\sin 70^{\circ }\ne 0$), одержимо:

Цей вираз збігається з рівністю під номером 4). Отже, рівність 4) — також правильна.

3. Перевірка інших рівностей

• Рівність 1) має вигляд $\frac{a}{\sin 70^{\circ }}=\frac{b}{\sin 20^{\circ }}$, звідки $a\cdot \sin 20^{\circ }=b\cdot \sin 70^{\circ }$. Це суперечить теоремі синусів, оскільки проти кута $20^{\circ }$ лежить сторона $a$, а не $b$. Отже, рівність 1) є неправильною.
• Рівність 3) містить косинуси замість синусів. Оскільки $\cos 20^{\circ }=\sin 70^{\circ }$ та $\cos 70^{\circ }=\sin 20^{\circ }$, рівність набуває вигляду $\frac{a}{\sin 70^{\circ }}=\frac{b}{\sin 20^{\circ }}$, що знову суперечить теоремі синусів. Отже, рівність 3) також є неправильною.

Таким чином, правильними є рівності 2) та 4).

Відповідь:
2) і 4).