Завдання № 1. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Вершини чотирикутника $ABCD$ мають координати $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$, $C(x_3;y_3)$, $D(x_4;y_4)$. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом тоді й тільки тоді, коли $x_1+x_3=x_2+x_4$ і $y_1+y_3=y_2+y_4$.

Покроковий розв’язок:

Для доведення твердження «тоді й тільки тоді» необхідно показати виконання умови в обох напрямках: пряму властивість та ознаку паралелограма.

В основі доведення лежить геометричний факт: чотирикутник є паралелограмом тоді й тільки тоді, коли його діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

1. Координати середин діагоналей

У чотирикутнику $ABCD$ відрізки $AC$ і $BD$ є діагоналями.
Знайдемо координати середини кожної діагоналі за формулами координат середини відрізка:

• Нехай точка $M$ — середина діагоналі $AC$. Оскільки кінцями відрізка є точки $A(x_1;y_1)$ та $C(x_3;y_3)$, координати точки $M$:
  $M\left(\frac{x_1+x_3}{2};\frac{y_1+y_3}{2}\right)$

• Нехай точка $N$ — середина діагоналі $BD$. Оскільки кінцями відрізка є точки $B(x_2;y_2)$ та $D(x_4;y_4)$, координати точки $N$:
  $N\left(\frac{x_2+x_4}{2};\frac{y_2+y_4}{2}\right)$

2. Доведення необхідності (пряме твердження)

Якщо чотирикутник $ABCD$ — паралелограм, то за властивістю паралелограма його діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються в одній точці й діляться нею навпіл.
Це означає, що середина діагоналі $AC$ збігається із серединою діагоналі $BD$, тобто точки $M$ і $N$ однакові ($M=N$).

Рівність двох точок означає рівність їхніх відповідних координат:
$\frac{x_1+x_3}{2}=\frac{x_2+x_4}{2}\text{і}\frac{y_1+y_3}{2}=\frac{y_2+y_4}{2}$

Помножимо обидві частини кожної рівності на $2$:
$x_1+x_3=x_2+x_4\text{і}{y}_1+y_3=y_2+y_4$

Пряме твердження доведено.

3. Доведення достатності (обернене твердження)

Нехай для координат вершин чотирикутника $ABCD$ виконуються рівності:
$x_1+x_3=x_2+x_4\text{і}{y}_1+y_3=y_2+y_4$

Поділимо обидві частини кожної з рівностей на $2$:
$\frac{x_1+x_3}{2}=\frac{x_2+x_4}{2}\text{і}\frac{y_1+y_3}{2}=\frac{y_2+y_4}{2}$

Звідси випливає, що точка $M$ (середина $AC$) та точка $N$ (середина $BD$) мають однакові абсциси та однакові ординати, отже, вони збігаються ($M=N$).
Це означає, що діагоналі чотирикутника $AC$ і $BD$ мають спільну середину, тобто перетинаються й точкою перетину діляться навпіл. За ознакою паралелограма чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом.

Твердження повністю доведено в обидва боки.

Відповідь:
Доведено. Чотирикутник $ABCD$ є паралелограмом тоді й тільки тоді, коли середини його діагоналей $AC$ і $BD$ збігаються, що рівносильно системі рівностей $x_1+x_3=x_2+x_4$ та $y_1+y_3=y_2+y_4$.