Завдання № 1. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторони трикутника $a$, $b$, $c$ лежать відповідно проти кутів $A$, $B$, $C$. Які з рівностей правильні:

1) $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

2) $\cos C=\frac{a^2-b^2-c^2}{2ab}$

3) $\cos B=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

4) $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз рівностей для кута $B$

За теоремою косинусів квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Для сторони $b$, що лежить проти кута $B$, маємо:
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos B$

Виразимо доданок із косинусом:
$2\cdot a\cdot c\cdot \cos B=a^2+c^2-b^2$

Поділимо обидві частини рівності на $2\cdot a\cdot c$:
$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

Отже, рівність 1) є правильною, а рівність 3) — неправильною.

2. Аналіз рівностей для кута $C$

Запишемо теорему косинусів для сторони $c$, що лежить проти кута $C$:
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$

Виразимо доданок із косинусом:
$2\cdot a\cdot b\cdot \cos C=a^2+b^2-c^2$

Поділимо обидві частини рівності на $2\cdot a\cdot b$:
$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Отже, рівність 4) є правильною, а рівність 2) — неправильною.

Таким чином, правильними є рівності 1 та 4.

Відповідь:

1) і 4).