Завдання № 1.9. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте трикутник, гомотетичний даному, із центром гомотетії в точці перетину медіан трикутника і коефіцієнтом гомотетії $k=2$.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано довільний трикутник $ABC$.

1. Знаходження центра гомотетії:

• На кожній із двох сторін трикутника (наприклад, $AB$ і $AC$) знайдемо їх середини.
• Проведемо дві медіани трикутника $ABC$.
• Точку їх перетину позначимо через $O$. За властивістю медіан трикутника точка $O$ є спільною точкою перетину всіх трьох медіан і слугуватиме заданим центром гомотетії.

2. Побудова гомотетичних вершин:
За означенням гомотетії з центром $O$ та коефіцієнтом $k=2$, кожна точка $X$ фігури переходить у таку точку $X^{\prime }$, що:

Оскільки коефіцієнт $k=2>0$, точки $X$ та $X^{\prime }$ лежать на одному промені з початком у точці $O$, причому довжина відрізка подвоюється: $O{X}^{\prime }=2\cdot OX$.

• Проведемо промінь $OA$ і відкладемо на ньому відрізок $O{A}^{\prime }=2\cdot OA$ (для цього достатньо від точки $A$ відкласти відрізок $A{A}^{\prime }=OA$). Точка $A^{\prime }$ — образ вершини $A$.
• Проведемо промінь $OB$ і відкладемо на ньому відрізок $O{B}^{\prime }=2\cdot OB$ (від точки $B$ відкладемо відрізок $B{B}^{\prime }=OB$). Точка $B^{\prime }$ — образ вершини $B$.
• Проведемо промінь $OC$ і відкладемо на ньому відрізок $O{C}^{\prime }=2\cdot OC$ (від точки $C$ відкладемо відрізок $C{C}^{\prime }=OC$). Точка $C^{\prime }$ — образ вершини $C$.

3. Утворення шуканого трикутника:

• Сполучимо точки $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ і $C^{\prime }$ відрізками.
• Отриманий трикутник $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ є шуканим: він гомотетичний трикутнику $ABC$ із центром у точці $O$ та коефіцієнтом $k=2$. За властивістю гомотетії $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\sim △ABC$, а відповідні сторони паралельні: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$, $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$.

Відповідь:
Побудовано трикутник $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, гомотетичний даному трикутнику $ABC$ із центром у точці $O$ (точці перетину медіан) і коефіцієнтом $k=2$.