Завдання № 1.8. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи може гомотетія бути переміщенням? У якому випадку?

Покроковий розв’язок:
1. Означення переміщення та властивість гомотетії
Переміщенням (або рухом) називають геометричне перетворення, яке зберігає відстань між точками. Тобто для будь-яких двох довільних точок $A$ і $B$ та їхніх образів $A^{\prime }$ і $B^{\prime }$ має виконуватися рівність:
$|A^{\prime }{B}^{\prime }|=|AB|$

За властивістю гомотетії з коефіцієнтом $k$, довжина відрізка змінюється в $|k|$ разів:
$|A^{\prime }{B}^{\prime }|=|k|\cdot |AB|$

2. Умова збереження відстаней
Щоб гомотетія була переміщенням, необхідно, щоб:
$|k|\cdot |AB|=|AB|$
Оскільки відрізок $AB$ має ненульову довжину ($|AB|\ne 0$), отримуємо рівняння:
$|k|=1$

Звідси маємо два можливі значення коефіцієнта: $k=1$ або $k=-1$.

3. Геометричний зміст знайдених випадків

• Якщо $k=1$, то для будь-якої точки $X$ маємо $\overrightarrow{O{X}^{\prime }}=1\cdot \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OX}$, тобто точка $X^{\prime }$ збігається з точкою $X$. Перетворення є тотожним, воно зберігає всі відстані і є окремим випадком переміщення.
• Якщо $k=-1$, то $\overrightarrow{O{X}^{\prime }}=-1\cdot \overrightarrow{OX}=-\overrightarrow{OX}$. Точка $O$ є серединою відрізка $X{X}^{\prime }$, тобто це перетворення є симетрією відносно центра $O$ (центральною симетрією), яка також є переміщенням.

Отже, гомотетія може бути переміщенням тоді й тільки тоді, коли коефіцієнт гомотетії дорівнює $1$ або $-1$.

Відповідь:
Так, гомотетія може бути переміщенням, якщо її коефіцієнт $k=1$ (тотожне перетворення) або $k=-1$ (центральна симетрія).