Завдання № 1.7. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано точки $O$ і $A$. Побудуйте точку $A^{\prime }$, гомотетичну точці $A$, із центром гомотетії $O$, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює:

1) $\frac{1}{2}$;

2) $\frac{4}{3}$;

3) $-1$;

4) $-3$.

Покроковий розв’язок:

За означенням гомотетії із центром $O$ та коефіцієнтом $k$ ($k\ne 0$), образом точки $A$ є така точка $A^{\prime }$, для якої виконується векторна рівність:
$\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{OA}$

З цієї рівності випливають дві ключові властивості для побудови:

• Відстань від центра гомотетії до шуканої точки дорівнює: $O{A}^{\prime }=|k|\cdot OA$.
• Якщо коефіцієнт $k>0$, то вектори $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$ і $\overrightarrow{OA}$ співнапрямлені ($\overrightarrow{O{A}^{\prime }}\uparrow \uparrow \overrightarrow{OA}$), отже, точка $A^{\prime }$ лежить на промені $OA$.
• Якщо коефіцієнт $k<0$, то вектори $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$ і $\overrightarrow{OA}$ протилежно напрямлені ($\overrightarrow{O{A}^{\prime }}\uparrow \downarrow \overrightarrow{OA}$), отже, точка $A^{\prime }$ лежить на доповняльному промені до променя $OA$ (тобто точка $O$ лежить між точками $A^{\prime }$ і $A$).

1. Побудова для коефіцієнта $k=\frac{1}{2}$

• Оскільки $k>0$, точка $A^{\prime }$ лежить на промені $OA$.
• Знаходимо відстань:
  $O{A}^{\prime }=\left|\frac{1}{2}\right|\cdot OA=\frac{1}{2}\cdot OA$
• Точка $A^{\prime }$ є серединою відрізка $OA$.

2. Побудова для коефіцієнта $k=\frac{4}{3}$

• Оскільки $k>0$, точка $A^{\prime }$ лежить на промені $OA$.
• Знаходимо відстань:
  $O{A}^{\prime }=\left|\frac{4}{3}\right|\cdot OA=\frac{4}{3}\cdot OA=1\frac{1}{3}\cdot OA$
• Точка $A$ лежить між точками $O$ та $A^{\prime }$. Ділимо відрізок $OA$ на $3$ рівні частини та відкладаємо від точки $O$ відрізок $O{A}^{\prime }$, довжина якого дорівнює $4$ таким частинам.

3. Побудова для коефіцієнта $k=-1$

• Оскільки $k<0$, точка $A^{\prime }$ лежить на доповняльному промені до променя $OA$.
• Знаходимо відстань:
  $O{A}^{\prime }=|-1|\cdot OA=1\cdot OA=OA$
• Точка $O$ є серединою відрізка $A^{\prime }A$ (точка $A^{\prime }$ симетрична точці $A$ відносно точки $O$).

4. Побудова для коефіцієнта $k=-3$

• Оскільки $k<0$, точка $A^{\prime }$ лежить на доповняльному промені до променя $OA$ (по інший бік від точки $O$ відносно точки $A$).
• Знаходимо відстань:
  $O{A}^{\prime }=|-3|\cdot OA=3\cdot OA$
• На доповняльному промені відкладаємо відрізок $O{A}^{\prime }$, довжина якого в $3$ рази більша за довжину відрізка $OA$.

Відповідь:

1) Точка $A^{\prime }$ лежить на відрізку $OA$ так, що $O{A}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot OA$ (точка $A^{\prime }$ — середина відрізка $OA$).

2) Точка $A^{\prime }$ лежить на промені $OA$ за точкою $A$ так, що $O{A}^{\prime }=\frac{4}{3}\cdot OA$.

3) Точка $A^{\prime }$ лежить на доповняльному промені до променя $OA$ так, що $O{A}^{\prime }=OA$ (точка $O$ — середина відрізка $A^{\prime }A$).

4) Точка $A^{\prime }$ лежить на доповняльному промені до променя $OA$ так, що $O{A}^{\prime }=3\cdot OA$ (точка $O$ лежить між точками $A^{\prime }$ та $A$).