Завдання № 1.6. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано точки $O$ і $B$. Побудуйте точку $B^{\prime }$, гомотетичну точці $B$, із центром гомотетії $O$, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює:

1) $k=\frac{1}{3}$;

2) $k=\frac{3}{2}$;

3) $k=-1$;

4) $k=-2$.

Покроковий розв’язок:

За означенням гомотетії із центром $O$ та коефіцієнтом $k\ne 0$, образом точки $B$ є така точка $B^{\prime }$, що:

• Точки $O$, $B$ і $B^{\prime }$ лежать на одній прямій;
• Відстань від центра гомотетії до шуканої точки визначається формулою $O{B}^{\prime }=|k|\cdot OB$;
• Якщо $k>0$, точка $B^{\prime }$ лежить на промені $OB$ (вектори $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}$ і $\overrightarrow{OB}$ співнапрямлені: $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}\uparrow \uparrow \overrightarrow{OB}$);
• Якщо $k<0$, точка $B^{\prime }$ лежить на доповняльному промені до променя $OB$ (точка $O$ лежить між $B^{\prime }$ і $B$, тобто вектори протилежно напрямлені: $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}\uparrow \downarrow \overrightarrow{OB}$).

1. Випадок $k=\frac{1}{3}$
Коефіцієнт $k>0$, тому точка $B^{\prime }$ належить променю $OB$. Довжина відрізка $O{B}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot OB$.
Побудова: проводимо промінь $OB$ і відкладаємо від точки $O$ у напрямку точки $B$ відрізок завдовжки $\frac{1}{3}\cdot OB$. Шукана точка $B^{\prime }$ лежить на відрізку $OB$.

2. Випадок $k=\frac{3}{2}=1,5$
Коефіцієнт $k>0$, тому точка $B^{\prime }$ належить променю $OB$. Довжина відрізка $O{B}^{\prime }=\frac{3}{2}\cdot OB=1,5\cdot OB$.
Побудова: проводимо промінь $OB$ і відкладаємо від точки $O$ у напрямку точки $B$ відрізок, що в $1,5$ раза довший за $OB$. Точка $B$ лежатиме між точками $O$ та $B^{\prime }$.

3. Випадок $k=-1$
Коефіцієнт $k<0$, тому точка $B^{\prime }$ лежить на доповняльному промені до променя $OB$ (по інший бік від точки $O$). Довжина відрізка $O{B}^{\prime }=|-1|\cdot OB=OB$.
Побудова: продовжуємо пряму $OB$ за точку $O$ та відкладаємо на утвореному промені відрізок $O{B}^{\prime }=OB$. Точка $O$ є серединою відрізка $B^{\prime }B$ (дане перетворення є симетрією відносно точки $O$).

4. Випадок $k=-2$
Коефіцієнт $k<0$, тому точка $B^{\prime }$ лежить на продовженні відрізка $OB$ за точку $O$. Довжина відрізка $O{B}^{\prime }=|-2|\cdot OB=2\cdot OB$.
Побудова: на промені, протилежному до променя $OB$, від точки $O$ відкладаємо відрізок завдовжки $2\cdot OB$.

Відповідь:

1) Точка $B^{\prime }$ лежить на відрізку $OB$ так, що $O{B}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot OB$;

2) Точка $B^{\prime }$ лежить на промені $OB$ за точкою $B$ так, що $O{B}^{\prime }=\frac{3}{2}\cdot OB=1,5\cdot OB$;

3) Точка $B^{\prime }$ лежить на доповняльному промені до променя $OB$ так, що $O{B}^{\prime }=OB$ ($O$ — середина відрізка $B^{\prime }B$);

4) Точка $B^{\prime }$ лежить на доповняльному промені до променя $OB$ так, що $O{B}^{\prime }=2\cdot OB$.