Завдання № 1.5. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Середня лінія трикутника відтинає від нього гомотетичний трикутник. Визначте коефіцієнт гомотетії. Де знаходиться центр гомотетії?

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз геометричної конфігурації
Нехай дано довільний трикутник $△ABC$, у якому відрізок $MN$ — середня лінія, паралельна стороні $AC$, де точка $M$ належить стороні $AB$, а точка $N$ — стороні $BC$.

За означенням середньої лінії трикутника:

• точка $M$ є серединою відрізка $AB$, отже, $BM=\frac{1}{2}\cdot BA$;
• точка $N$ є серединою відрізка $BC$, отже, $BN=\frac{1}{2}\cdot BC$;
• відрізок $MN\parallel AC$, причому $MN=\frac{1}{2}\cdot AC$.

2. Визначення центра гомотетії
Гомотетією із центром $O$ та коефіцієнтом $k$ ($k\ne 0$) називають таке геометричне перетворення, за якого кожній довільній точці $X$ ставиться у відповідність точка $X^{\prime }$ на прямій $OX$ так, що:

Розглянемо вектори з початком у спільній вершині $B$:

• Точка $M$ лежить на промені $BA$, причому $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{BA}$.
• Точка $N$ лежить на промені $BC$, причому $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{BC}$.
• Вершина $B$ переходить сама в себе.

Отже, прямі $AM$ і $CN$, які з’єднують відповідні вершини трикутників, перетинаються в точці $B$. Це означає, що центром гомотетії є вершина трикутника, протилежна середній лінії (у нашому випадку — точка $B$).

3. Обчислення коефіцієнта гомотетії
Оскільки відрізаний трикутник $△MBN$ є образом початкового трикутника $△ABC$ при гомотетії із центром у точці $B$, а відповідні вектори співнапрямлені ($\overrightarrow{BM}\uparrow \uparrow \overrightarrow{BA}$):

(Примітка: якщо розглядати перетворення відрізаного трикутника $△MBN$ у початковий трикутник $△ABC$, коефіцієнт гомотетії становитиме $k=2$).

Відповідь:
Центр гомотетії знаходиться у вершині трикутника, протилежній середній лінії (у спільній вершині початкового та утвореного трикутників); коефіцієнт гомотетії дорівнює $k=\frac{1}{2}$ (або $k=2$, якщо образом вважати початковий трикутник).