Завдання № 1.4. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте відрізок $MN=3\text{ см}$ і позначте точку $O$, що не належить прямій $MN$. Побудуйте відрізок, гомотетичний відрізку $MN$, із центром гомотетії в точці $O$ і коефіцієнтом $k=2$.

Покроковий розв’язок:

1. Означення гомотетії
За означенням гомотетії з центром у точці $O$ та додатним коефіцієнтом $k>0$, кожна точка $X$ фігури переходить у таку точку $X^{\prime }$, яка лежить на промені $OX$, що довжина відрізка задовольняє рівність:
$O{X}^{\prime }=k\cdot OX$
Оскільки коефіцієнт гомотетії $k=2>0$, точки $M^{\prime }$ та $N^{\prime }$ лежатимуть відповідно на променях $OM$ та $ON$ за точками $M$ і $N$, причому відстань від центра гомотетії $O$ збільшиться в $2$ рази.

2. Алгоритм побудови

1) Накреслимо довільний відрізок $MN=3\text{ см}$ та виберемо точку $O$, яка не лежить на прямій $MN$.

2) Проведемо промінь $OM$. Відкладемо на ньому від точки $O$ відрізок $O{M}^{\prime }=2\cdot OM$ (або від точки $M$ відкладемо відрізок $M{M}^{\prime }=OM$). Точка $M^{\prime }$ є образом точки $M$ при даній гомотетії.

3) Проведемо промінь $ON$. Відкладемо на ньому від точки $O$ відрізок $O{N}^{\prime }=2\cdot ON$ (або від точки $N$ відкладемо відрізок $N{N}^{\prime }=ON$). Точка $N^{\prime }$ є образом точки $N$ при даній гомотетії.

4) Сполучимо точки $M^{\prime }$ і $N^{\prime }$ відрізком.

Відрізок $M^{\prime }{N}^{\prime }$ є шуканим образом відрізка $MN$.

3. Властивості побудованого відрізка
Оскільки гомотетія є перетворенням подібності, довжина утвореного відрізка збільшується в $k$ разів:
$M^{\prime }{N}^{\prime }=k\cdot MN=2\cdot 3\text{ см}=6\text{ см}$
Крім того, за властивістю гомотетії пряма, що не проходить через центр гомотетії, переходить у паралельну їй пряму, тобто $M^{\prime }{N}^{\prime }\parallel MN$.

Відповідь: шуканим є відрізок $M^{\prime }{N}^{\prime }$, побудований на променях $OM$ та $ON$ за умовами $O{M}^{\prime }=2\cdot OM$ і $O{N}^{\prime }=2\cdot ON$; при цьому $M^{\prime }{N}^{\prime }\parallel MN$ і $M^{\prime }{N}^{\prime }=6\text{ см}$.