Завдання № 1.30. § 1. Координатна площина (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

З вершини тупого кута $B$ паралелограма $A B C D$ проведено перпендикуляр $B O$ до сторони $A D$ . Коло із центром у точці $A$ проходить через вершину $B$ і перетинає сторону $A D$ у точці $K$ . Відомо, що $A K = 8 см$ , $K D = 6 см$ , $A O = 7 см$ .

1) Знайдіть периметр паралелограма $A B C D$ (у см).

2) Обчисліть довжину діагоналі $B D$ (у см).

Креслення до завдання 1.30

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження периметра паралелограма $A B C D$

Оскільки точка $K$ належить стороні $A D$ , довжина всієї сторони $A D$ дорівнює сумі довжин її частин:
$A D = A K + K D = 8 + 6 = 14 см$

За умовою коло із центром у точці $A$ проходить через точки $B$ та $K$ . Отже, відрізки $A B$ та $A K$ є радіусами цього кола, звідки:
$A B = A K = 8 см$

У паралелограмі протилежні сторони попарно рівні ( $A B = C D$ , $B C = A D$ ). Знайдемо периметр паралелограма:
$P_{A B C D} = 2 \cdot (A B + A D) = 2 \cdot (8 + 14) = 2 \cdot 22 = 44 см$

2. Обчислення довжини діагоналі $B D$

Оскільки $B O ⊥ A D$ , трикутник $△ A O B$ є прямокутним із прямим кутом $∠ A O B = 9 0^{\circ}$ .

За теоремою Піфагора для трикутника $△ A O B$ :
$A B^{2} = A O^{2} + B O^{2}$

Звідси знайдемо квадрат висоти $B O$ :
$B O^{2} = A B^{2} - A O^{2} = 8^{2} - 7^{2} = 64 - 49 = 15$

Знайдемо довжину відрізка $O D$ . Оскільки точка $O$ лежить на стороні $A D$ :
$O D = A D - A O = 14 - 7 = 7 см$

Трикутник $△ B O D$ також є прямокутним ( $∠ B O D = 9 0^{\circ}$ , оскільки $B O ⊥ A D$ ). За теоремою Піфагора для $△ B O D$ :
$B D^{2} = B O^{2} + O D^{2}$

Підставимо відомі значення:
$B D^{2} = 15 + 7^{2} = 15 + 49 = 64$

Звідси:
$B D = 64 = 8 см$

Відповідь:

1) $44 см$ ;

2) $8 см$ .

Завдання № 1.30. § 1. Координатна площина (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку