Завдання № 1.21. § 1. Координатна площина (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Сторона квадрата $ABCD$ дорівнює $2$ одиниці, а його сторони паралельні осям координат. Знайдіть координати вершин квадрата, якщо $A(3;3)$. Розгляньте всі можливі випадки.

Покроковий розв’язок:

Оскільки сторони квадрата паралельні осям координат, відрізки, що утворюють його сторони, є або горизонтальними (паралельними осі абсцис $Ox$), або вертикальними (паралельними осі ординат $Oy$).

Довжина кожної сторони дорівнює $2$. Це означає, що при переході від однієї вершини до сусідньої вздовж сторони одна з координат змінюється на $2$ (збільшується або зменшується на $2$), а інша координата залишається незмінною.

Вершина $A(3;3)$ може бути будь-якою з чотирьох вершин квадрата: правою верхньою, лівою верхньою, лівою нижньою або правою нижньою. Розглянемо всі чотири можливі випадки розташування квадрата $ABCD$ на координатній площині з урахуванням послідовного обходу його вершин (за годинниковою або проти годинникової стрілки):

1. Квадрат розташований ліворуч і нижче від вершини $A$ (вершина $A$ — права верхня)

• Вершина $B$ лежить на $2$ одиниці нижче від $A$: $B(3;3-2)$, тобто $B(3;1)$.
• Вершина $C$ лежить на $2$ одиниці лівіше від $B$: $C(3-2;1)$, тобто $C(1;1)$.
• Вершина $D$ лежить на $2$ одиниці вище від $C$: $D(1;1+2)$, тобто $D(1;3)$.

Координати вершин: $A(3;3)$, $B(3;1)$, $C(1;1)$, $D(1;3)$.

2. Квадрат розташований праворуч і нижче від вершини $A$ (вершина $A$ — ліва верхня)

• Вершина $B$ лежить на $2$ одиниці праворуч від $A$: $B(3+2;3)$, тобто $B(5;3)$.
• Вершина $C$ лежить на $2$ одиниці нижче від $B$: $C(5;3-2)$, тобто $C(5;1)$.
• Вершина $D$ лежить на $2$ одиниці лівіше від $C$: $D(5-2;1)$, тобто $D(3;1)$.

Координати вершин: $A(3;3)$, $B(5;3)$, $C(5;1)$, $D(3;1)$.

3. Квадрат розташований праворуч і вище від вершини $A$ (вершина $A$ — ліва нижня)

• Вершина $B$ лежить на $2$ одиниці праворуч від $A$: $B(3+2;3)$, тобто $B(5;3)$.
• Вершина $C$ лежить на $2$ одиниці вище від $B$: $C(5;3+2)$, тобто $C(5;5)$.
• Вершина $D$ лежить на $2$ одиниці лівіше від $C$: $D(5-2;5)$, тобто $D(3;5)$.

Координати вершин: $A(3;3)$, $B(5;3)$, $C(5;5)$, $D(3;5)$.

4. Квадрат розташований ліворуч і вище від вершини $A$ (вершина $A$ — права нижня)

• Вершина $B$ лежить на $2$ одиниці вище від $A$: $B(3;3+2)$, тобто $B(3;5)$.
• Вершина $C$ лежить на $2$ одиниці лівіше від $B$: $C(3-2;5)$, тобто $C(1;5)$.
• Вершина $D$ лежить на $2$ одиниці нижче від $C$: $D(1;5-2)$, тобто $D(1;3)$.

Координати вершин: $A(3;3)$, $B(3;5)$, $C(1;5)$, $D(1;3)$.

Геометрична ілюстрація всіх чотирьох випадків:

Відповідь:

Можливі $4$ випадки розташування вершин:

1) $A(3;3)$, $B(3;1)$, $C(1;1)$, $D(1;3)$;

2) $A(3;3)$, $B(5;3)$, $C(5;1)$, $D(3;1)$;

3) $A(3;3)$, $B(5;3)$, $C(5;5)$, $D(3;5)$;

4) $A(3;3)$, $B(3;5)$, $C(1;5)$, $D(1;3)$.