Завдання № 1.19. § 1. Координатна площина (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Точка перетину діагоналей ромба збігається з початком координат, а діагоналі ромба лежать на осях координат. Довжина однієї діагоналі дорівнює $10$ одиниць, а другої — $8$ одиниць. Знайдіть координати вершин ромба. Скільки розв’язків має задача?

Покроковий розв’язок:

За властивістю ромба його діагоналі взаємно перпендикулярні та точкою перетину діляться навпіл.

Оскільки діагоналі ромба лежать на координатних осях $Ox$ та $Oy$, а точка їхнього перетину збігається з початком координат $O(0;0)$, то початок координат є серединою кожної з діагоналей. Вершини ромба розташовані симетрично відносно точки $O$ на осях координат на відстанях, що дорівнюють половинам довжин відповідних діагоналей.

В умові не вказано, яка саме діагональ лежить на якій осі, тому задача має $2$ можливі випадки розташування (два розв’язки).

Випадок 1. Діагональ завдовжки $10$ лежить на осі $Ox$, а діагональ завдовжки $8$ — на осі $Oy$

1) Знайдемо відстані від початку координат до вершин:

• По осі абсцис ($Ox$): $\frac{10}{2}=5$ одиниць вліво та вправо від точки $O$.
• По осі ординат ($Oy$): $\frac{8}{2}=4$ одиниці вгору та вниз від точки $O$.

2) Визначимо координати вершин ромба:

• Вершини на осі $Ox$: $A(-5;0)$ та $C(5;0)$.
• Вершини на осі $Oy$: $B(0;4)$ та $D(0;-4)$.

Випадок 2. Діагональ завдовжки $8$ лежить на осі $Ox$, а діагональ завдовжки $10$ — на осі $Oy$

1) Знайдемо відстані від початку координат до вершин:

• По осі абсцис ($Ox$): $\frac{8}{2}=4$ одиниці вліво та вправо від точки $O$.
• По осі ординат ($Oy$): $\frac{10}{2}=5$ одиниць вгору та вниз від точки $O$.

2) Визначимо координати вершин ромба:

• Вершини на осі $Ox$: $A(-4;0)$ та $C(4;0)$.
• Вершини на осі $Oy$: $B(0;5)$ та $D(0;-5)$.

Відповідь:

Задача має $2$ розв’язки:

1) $A(-5;0)$, $B(0;4)$, $C(5;0)$, $D(0;-4)$;

2) $A(-4;0)$, $B(0;5)$, $C(4;0)$, $D(0;-5)$.