Завдання № 1.17. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано дві паралельні прямі $a$ і $b$. Чи може одна з них перейти в другу при гомотетії? Якщо так, то поясніть, як знайти центр цієї гомотетії. Скільки таких центрів може бути?

Покроковий розв’язок:

1. Можливість переходу однієї прямої в іншу
За властивістю гомотетії, образом будь-якої прямої, що не проходить через центр гомотетії, є пряма, паралельна даній. Оскільки дані прямі $a$ і $b$ паралельні ($a\parallel b$), пряма $a$ може перейти в пряму $b$ за допомогою гомотетії.

2. Визначення положення центра гомотетії
Розглянемо можливе розташування центра гомотетії $O$:

• Якщо центр $O$ лежить на одній із прямих (наприклад, на прямій $a$), то пряма $a$ проходить через центр гомотетії, тому вона відобразиться сама в себе ($a\to a$) і не зможе перейти в пряму $b$.
• Отже, центр гомотетії $O$ не може належати жодній із даних прямих ($O\notin a$ та $O\notin b$).

Візьмемо довільну точку $O$, яка не належить прямим $a$ і $b$:

1) Проведемо через точку $O$ довільну пряму (січну), яка перетинає пряму $a$ в точці $X$, а пряму $b$ — у точці $X^{\prime }$.

2) За означенням гомотетії з центром $O$, щоб точка $X$ перейшла в точку $X^{\prime }$, коефіцієнт гомотетії $k$ має задовольняти векторну рівність:
$\overrightarrow{O{X}^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{OX}$

• Якщо точка $O$ лежить поза смугою між прямими $a$ і $b$, то вектори $\overrightarrow{O{X}^{\prime }}$ і $\overrightarrow{OX}$ є співнапрямленими ($\overrightarrow{O{X}^{\prime }}\uparrow \uparrow \overrightarrow{OX}$), тому коефіцієнт $k>0$:
  $k=\frac{O{X}^{\prime }}{OX}$
• Якщо точка $O$ лежить між прямими $a$ і $b$, то вектори $\overrightarrow{O{X}^{\prime }}$ і $\overrightarrow{OX}$ є протилежно напрямленими ($\overrightarrow{O{X}^{\prime }}\uparrow \downarrow \overrightarrow{OX}$), тому коефіцієнт $k<0$:
  $k=-\frac{O{X}^{\prime }}{OX}$

При такій гомотетії образом прямої $a$ є пряма, що проходить через точку $X^{\prime }$ і паралельна прямій $a$. Оскільки через точку $X^{\prime }$ можна провести лише одну пряму, паралельну $a$, і цією прямою є $b$, то образом прямої $a$ є саме пряма $b$.

3. Кількість центрів гомотетії
Оскільки точку $O$ можна обрати довільно в будь-якому місці площини за умови, що вона не лежить на прямих $a$ і $b$, таких точок існує безліч. Отже, центрів гомотетії існує безліч.

Відповідь: Так, може. Центром гомотетії може бути будь-яка точка площини, що не належить даним прямим; таких центрів безліч.