Завдання № 1.16. § 1. Координатна площина (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Що можна сказати про координати точки $A$, якщо вона належить бісектрисі:

1) першого координатного кута;

2) другого координатного кута?

Покроковий розв’язок:

За означенням бісектриса кута є геометричним місцем точок, які рівновіддалені від його сторін, і являє собою промінь із початком у вершині кута — початку координат $O(0;0)$.

Відстань від будь-якої точки $A(x_A;y_A)$ до осі ординат дорівнює $|x_A|$, а до осі абсцис — $|y_A|$. Оскільки точка $A$ належить бісектрисі, ці відстані рівні:
$|x_A|=|y_A|$

1. Точка належить бісектрисі першого координатного кута

У першому координатному куті абсциси й ординати точок є невід’ємними: $x\ge 0$ та $y\ge 0$.

Оскільки точка рівновіддалена від додатних півосей координат:
$x_A=y_A,\text{де }{x}_A\ge 0$

Отже, координати точки $A$ є рівними між собою невід’ємними числами.

2. Точка належить бісектрисі другого координатного кута

У другому координатному куті абсциси точок є недодатними ($x\le 0$), а ординати — невід’ємними ($y\ge 0$).

Оскільки відстані до осей координат рівні, маємо $|x_A|=|y_A|$. З урахуванням знаків координат:
$-x_A=y_A⟺x_A=-y_A,\text{де }{x}_A\le 0\text{ (або }{y}_A\ge 0\text{)}$

Отже, координати точки $A$ є протилежними числами, причому абсциса є недодатною ($x_A\le 0$), а ордината — невід’ємною ($y_A\ge 0$).

Відповідь:

1) Координати рівні між собою та невід’ємні: $x_A=y_A$, $x_A\ge 0$ (або $y_A\ge 0$).

2) Координати є протилежними числами: $x_A=-y_A$, де $x_A\le 0$ (або $y_A\ge 0$).