Завдання № 1.16. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано два паралельних, але не рівних між собою відрізки $AB$ і $CD$. Чи може один з них перейти у другий при гомотетії? Якщо так, то поясніть, як знайти центр цієї гомотетії. Скільки таких центрів може бути?

Покроковий розв’язок:

1. Теоретичне обґрунтування можливості гомотетії

За означенням та властивостями гомотетії, будь-який відрізок $AB$ при гомотетії із центром $O$ та коефіцієнтом $k\ne 0$ переходить у паралельний йому відрізок $CD$ (або відрізок, що лежить на тій самій прямій), причому довжина нового відрізка дорівнює $|k|\cdot AB$.

Оскільки за умовою відрізки паралельні ($AB\parallel CD$) і не рівні ($AB\ne CD$), відрізок $AB$ завжди може перейти у відрізок $CD$ при гомотетії. При цьому абсолютна величина коефіцієнта гомотетії дорівнює відношенню їхніх довжин:
$|k|=\frac{CD}{AB}\ne 1$

Центр гомотетії $O$, точка-прообраз та відповідна їй точка-образ завжди лежать на одній прямій. Оскільки відрізок має два кінці, існує два можливих способи встановлення відповідності між кінцями відрізків $AB$ та $CD$. Отже, існують два різних центри такої гомотетії.

2. Випадок 1. Коефіцієнт гомотетії $k>0$ (пряма гомотетія)

Нехай точка $A$ переходить у точку $C$, а точка $B$ — у точку $D$:

• Тоді центр гомотетії $O_1$ повинен належати прямій $AC$ і прямій $BD$.
• Оскільки $AB\parallel CD$ і $AB\ne CD$, чотирикутник $ABDC$ (або трапеція з основами $AB$ і $CD$) має непаралельні бічні сторони. Прямі $AC$ і $BD$ обов’язково перетинаються в єдиній точці $O_1$.
• Оскільки $k>0$, точки $A$ і $C$ лежать по один бік від центра $O_1$ на промені $O_{1}C$, аналогічно точки $B$ і $D$ лежать по один бік від $O_1$. Точка $O_1$ лежить поза смугою між паралельними відрізками (із боку меншого відрізка).

3. Випадок 2. Коефіцієнт гомотетії $k<0$ (зворотна гомотетія)

Нехай точка $A$ переходить у точку $D$, а точка $B$ — у точку $C$:

• Тоді центр гомотетії $O_2$ повинен належати прямій $AD$ і прямій $BC$.
• Прямі $AD$ і $BC$ перетинаються в єдиній точці $O_2$.
• Оскільки $k<0$, центр гомотетії $O_2$ лежить між точками $A$ і $D$, а також між точками $B$ і $C$ (точка $O_2$ є точкою перетину відрізків $AD$ і $BC$). Точка $O_2$ розташована всередині між паралельними відрізками.

Відповідь:

Так, відрізок $AB$ може перейти у відрізок $CD$ при гомотетії.

Існує рівно два таких центри:

1) Точка перетину прямих $AC$ і $BD$ (відповідає гомотетії з коефіцієнтом $k>0$);

2) Точка перетину прямих $AD$ і $BC$ (відповідає гомотетії з коефіцієнтом $k<0$).