Завдання № 1.15. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Гомотетія із центром у початку координат переводить точку $A$ в точку $A^{\prime }$. Знайдіть коефіцієнт гомотетії, якщо:

1) $A(-3;4)$, $A^{\prime }(-6;8)$;

2) $A(20;10)$, $A^{\prime }(4;2)$;

3) $A(-5;-1)$, $A^{\prime }(15;3)$;

4) $A(2;-6)$, $A^{\prime }(-1;3)$.

Покроковий розв’язок:

За означенням гомотетії із центром у початку координат $O(0;0)$ та коефіцієнтом $k$, для образу $A^{\prime }$ довільної точки $A$ виконується векторна рівність:

Оскільки координати точок $A(x;y)$ та $A^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ збігаються з координатами радіус-векторів $\overrightarrow{OA}(x;y)$ та $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}(x^{\prime };y^{\prime })$, то координати точок пов’язані формулами:

Звідси коефіцієнт гомотетії дорівнює:

Знайдемо коефіцієнт $k$ для кожного з випадків:

1) Для точок $A(-3;4)$ та $A^{\prime }(-6;8)$:

Оскільки $k>0$, точки $A$ і $A^{\prime }$ лежать на одному промені з початком у точці $O$.

2) Для точок $A(20;10)$ та $A^{\prime }(4;2)$:

Оскільки $k>0$, точки $A$ і $A^{\prime }$ лежать на одному промені з початком у точці $O$.

3) Для точок $A(-5;-1)$ та $A^{\prime }(15;3)$:

Оскільки $k<0$, точки $A$ і $A^{\prime }$ лежать на доповняльних променях по різні боки від центра гомотетії $O$.

4) Для точок $A(2;-6)$ та $A^{\prime }(-1;3)$:

Оскільки $k<0$, точки $A$ і $A^{\prime }$ лежать по різні боки від центра гомотетії $O$.

Відповідь:

1) $k=2$;

2) $k=\frac{1}{5}$;

3) $k=-3$;

4) $k=-\frac{1}{2}$.