Завдання № 1.14. § 1. Координатна площина (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Сторони прямокутника $KLMN$ паралельні осям координат, $K(4;5)$, $M(-2;-3)$. Знайдіть координати вершин $L$ і $N$ прямокутника.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості розташування вершин прямокутника в системі координат

У прямокутнику $KLMN$ вершини записуються послідовно за контуром фігури ($K\to L\to M\to N$). Це означає, що вершини $K$ і $M$ є протилежними (діагональними), а пари $(K,L)$, $(L,M)$, $(M,N)$ та $(N,K)$ задають сусідні вершини, що утворюють сторони прямокутника.

Оскільки сторони прямокутника паралельні осям координат:

• Пряма, паралельна осі ординат ($Oy$), має рівняння вигляду $x=\text{const}$ (абсциси всіх точок на ній рівні).
• Пряма, паралельна осі абсцис ($Ox$), має рівняння вигляду $y=\text{const}$ (ординати всіх точок на ній рівні).

Оскільки сторони взаємно перпендикулярні, одна пара протилежних сторін паралельна осі $Oy$, а друга — осі $Ox$. Залежно від напрямку обходу прямокутника можливі два випадки.

2. Випадок 1: сторона $KL$ паралельна осі $Oy$

Нехай сторона $KL$ паралельна осі $Oy$, а сторона $LM$ паралельна осі $Ox$:

• Оскільки $KL\parallel Oy$, то абсциса точки $L$ дорівнює абсцисі точки $K$:
  $x_L=x_K=4$
• Оскільки $LM\parallel Ox$, то ордината точки $L$ дорівнює ординаті точки $M$:
  $y_L=y_M=-3$
  Отже, координати точки $L$: $(4;-3)$.

Аналогічно знаходимо координати четвертої вершини $N$:

• Оскільки сторона $MN\parallel Oy$, абсциса точки $N$ дорівнює абсцисі точки $M$:
  $x_N=x_M=-2$
• Оскільки сторона $NK\parallel Ox$, ордината точки $N$ дорівнює ординаті точки $K$:
  $y_N=y_K=5$
  Отже, координати точки $N$: $(-2;5)$.

3. Випадок 2: сторона $KL$ паралельна осі $Ox$

Якщо обхід вершин здійснюється у протилежному напрямку, сторона $KL$ може бути паралельною осі $Ox$, а сторона $LM$ — осі $Oy$:

• Оскільки $KL\parallel Ox$, ордината точки $L$ дорівнює ординаті точки $K$:
  $y_L=y_K=5$
• Оскільки $LM\parallel Oy$, абсциса точки $L$ дорівнює абсцисі точки $M$:
  $x_L=x_M=-2$
  У цьому разі отримуємо $L(-2;5)$.

Відповідно для вершини $N$:

• Оскільки $MN\parallel Ox$, ордината точки $N$ дорівнює ординаті точки $M$:
  $y_N=y_M=-3$
• Оскільки $NK\parallel Oy$, абсциса точки $N$ дорівнює абсцисі точки $K$:
  $x_N=x_K=4$
  У цьому разі отримуємо $N(4;-3)$.

Обидва випадки повністю відповідають умові задачі.

Відповідь: $L(4;-3)$, $N(-2;5)$ або $L(-2;5)$, $N(4;-3)$.