Завдання № 1.14. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Гомотетія із центром у початку координат переводить точку $B$ у точку $B^{\prime }$. Знайдіть коефіцієнт гомотетії, якщо:

1) $B(2;-5)$, $B^{\prime }(6;-15)$

2) $B(-2;8)$, $B^{\prime }(-1;4)$

3) $B(4;5)$, $B^{\prime }(-8;-10)$

4) $B(-16;-4)$, $B^{\prime }(4;1)$

Покроковий розв’язок:
За означенням гомотетії із центром у початку координат $O(0;0)$ та коефіцієнтом $k$ образ $B^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ будь-якої точки $B(x;y)$ пов’язаний із нею векторною рівністю:

Оскільки координати векторів з початком у точці $O(0;0)$ збігаються з координатами їхніх кінців, маємо:
$\overrightarrow{OB}=(x;y)$, а $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(x^{\prime };y^{\prime })$.

Звідси координати точок задовольняють співвідношення:

Отже, якщо координати точки $B$ не дорівнюють нулю, коефіцієнт гомотетії $k$ можна знайти як відношення відповідних координат:

1) Випадок $B(2;-5)$ і $B^{\prime }(6;-15)$
Знайдемо коефіцієнт $k$ за формулою:

Перевіримо за ординатою:

Оскільки $k>0$, точки $B$ і $B^{\prime }$ лежать на одному промені з початком у центрі $O(0;0)$. Значення коефіцієнта гомотетії дорівнює $3$.

2) Випадок $B(-2;8)$ і $B^{\prime }(-1;4)$
Знайдемо коефіцієнт $k$:

Перевіримо за ординатою:

Оскільки $k>0$, точки лежать по один бік від центра гомотетії $O(0;0)$. Значення коефіцієнта гомотетії дорівнює $\frac{1}{2}$.

3) Випадок $B(4;5)$ і $B^{\prime }(-8;-10)$
Знайдемо коефіцієнт $k$:

Перевіримо за ординатою:

Оскільки $k<0$, точки $B$ і $B^{\prime }$ лежать по різні боки від центра гомотетії $O(0;0)$ на доповняльних променях. Значення коефіцієнта гомотетії дорівнює $-2$.

4) Випадок $B(-16;-4)$ і $B^{\prime }(4;1)$
Знайдемо коефіцієнт $k$:

Перевіримо за ординатою:

Оскільки $k<0$, точки $B$ і $B^{\prime }$ лежать по різні боки від центра гомотетії $O(0;0)$. Значення коефіцієнта гомотетії дорівнює $-\frac{1}{4}$.

Відповідь:

1) $k=3$

2) $k=\frac{1}{2}$

3) $k=-2$

4) $k=-\frac{1}{4}$