Завдання № 1.13. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи можуть дві фігури бути:

1) гомотетичними, але не подібними;

2) подібними, але не гомотетичними;

3) гомотетичними і рівними?

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження першого випадку (гомотетичні, але не подібні):
За означенням, гомотетія є окремим видом перетворення подібності (з коефіцієнтом подібності $|k|$, де $k\ne 0$). Якщо одна фігура гомотетична іншій, то відстань між будь-якими двома точками змінюється в одну й ту саму кількість разів ($|k|$), зберігаючи форму фігури та рівність відповідних кутів. Отже, будь-які дві гомотетичні фігури завжди є подібними. Бути гомотетичними, але не подібними, фігури не можуть.

2. Дослідження другого випадку (подібні, але не гомотетичні):
Гомотетія вимагає виконання спеціальної умови: прямі, що сполучають відповідні точки фігур, мають перетинатися в одній спільній точці — центрі гомотетії, а відповідні прямі або відрізки мають бути паралельними. Якщо взяти дві подібні фігури та повернути одну з них відносно іншої на кут, відмінний від $0^{\circ }$ та $180^{\circ }$, паралельність відповідних сторін порушиться. Отже, фігури залишаться подібними, але гомотетичними вже не будуть. Такий випадок можливий.

3. Дослідження третього випадку (гомотетичними і рівними):
Перетворення подібності переходить у рух (перетворення, що зберігає відстані), якщо коефіцієнт подібності дорівнює $1$.
Для гомотетії це відповідає коефіцієнтам:

• $k=1$ (тотожне перетворення, фігура переходить сама в себе);
• $k=-1$ (центральна симетрія відносно центра гомотетії).
  В обох випадках відстані між відповідними точками не змінюються, тобто фігури є рівними за означенням рівності фігур через рух. Отже, дві фігури можуть бути одночасно гомотетичними і рівними.

Відповідь:

1) Ні; 2) так; 3) так.