Завдання № 1.12. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Дано точки $B$ і $B^{'}$ . Побудуйте центр гомотетії, при якій точка $B$ переходить у точку $B^{'}$ , якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює:

1) $3$ ;

2) $\frac{1}{2}$ .

Покроковий розв’язок:

За означенням гомотетії з центром $O$ та коефіцієнтом $k$ , образом точки $B$ є точка $B^{'}$ , для якої виконується векторна рівність:

O B^{'} = k \cdot O B

Оскільки в обох випадках коефіцієнт $k > 0$ , точки $B$ і $B^{'}$ лежать на одному промені з початком у точці $O$ , а відстані задовольняють співвідношення $O B^{'} = k \cdot O B$ .

1. Випадок $k = 3$

Аналіз:
Так як $k = 3 > 1$ , точка $B$ лежить між центром гомотетії $O$ та образом $B^{'}$ .
Маємо:

O B^{'} = 3 \cdot O B

Оскільки точка $B$ належить відрізку $O B^{'}$ , довжину відрізка $O B^{'}$ можна записати як:

O B^{'} = O B + B B^{'}

Підставимо це у попередню рівність:

O B + B B^{'} = 3 \cdot O B ⟹ B B^{'} = 2 \cdot O B ⟹ O B = \frac{1}{2} B B^{'}

Побудова:

1) Проводимо пряму через задані точки $B$ і $B^{'}$ .

2) Знаходимо середину відрізка $B B^{'}$ за допомогою циркуля та лінійки.

3) На доповняльному промені до променя $B B^{'}$ (тобто на продовженні відрізка за точку $B$ ) відкладаємо відрізок $B O$ , довжина якого дорівнює половині довжини відрізка $B B^{'}$ :

B O = \frac{1}{2} B B^{'}

Точка $O$ є шуканим центром гомотетії.

2. Випадок $k = \frac{1}{2}$

Аналіз:
Оскільки $0 < k < 1$ , точка $B^{'}$ лежить між точкою $O$ та точкою $B$ .
За означенням:

O B^{'} = \frac{1}{2} O B ⟹ O B = 2 \cdot O B^{'}

Оскільки точка $B^{'}$ лежить на відрізку $O B$ , маємо:

O B = O B^{'} + B^{'} B

Звідси:

2 \cdot O B^{'} = O B^{'} + B^{'} B ⟹ B^{'} O = B^{'} B

Отже, точка $B^{'}$ є серединою відрізка $O B$ .

Побудова:

1) Проводимо пряму через задані точки $B$ і $B^{'}$ .

2) На промені з початком у точці $B$ , що проходить через точку $B^{'}$ , відкладаємо за точку $B^{'}$ відрізок $B^{'} O$ , який за довжиною дорівнює відрізку $B^{'} B$ :

B^{'} O = B^{'} B

Точка $O$ є шуканим центром гомотетії.

Відповідь:

1) Точка $O$ лежить на продовженні відрізка $B^{'} B$ за точку $B$ на відстані $B O = \frac{1}{2} B B^{'}$ .

2) Точка $O$ лежить на продовженні відрізка $B B^{'}$ за точку $B^{'}$ на відстані $B^{'} O = B^{'} B$ (при цьому $B^{'}$ є серединою відрізка $O B$ ).

Завдання № 1.12. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку