Завдання № 1.11. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано точки $A$ і $A^{\prime }$. Побудуйте центр гомотетії, при якій точка $A$ переходить у точку $A^{\prime }$, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює:

1) $2$;

2) $\frac{1}{3}$.

Покроковий розв’язок:

За означенням гомотетії з центром $O$ та коефіцієнтом $k$, точка $A^{\prime }$ є образом точки $A$, якщо виконується векторна рівність:

В обох випадках коефіцієнт $k>0$, тому точки $A$ та $A^{\prime }$ лежать на одному промені з початком у точці $O$, а співвідношення їхніх відстаней від центра дорівнює:

1. Випадок $k=2$

1) Аналіз:
Оскільки $k=2>1$, відстань від центра $O$ до образу $A^{\prime }$ удвічі більша, ніж до початкової точки $A$:

Точка $A$ лежить між точками $O$ та $A^{\prime }$. Тоді:

Підставимо це в рівність:

Отже, точка $A$ є серединою відрізка $O{A}^{\prime }$, а точка $O$ лежить на промені $A^{\prime }A$ за точкою $A$ на відстані, що дорівнює довжині відрізка $A{A}^{\prime }$.

2) Побудова:

• Проводимо пряму через точки $A$ та $A^{\prime }$.
• На промені $A^{\prime }A$ за точкою $A$ відкладаємо відрізок $AO=A{A}^{\prime }$.
• Точка $O$ — шуканий центр гомотетії.

2. Випадок $k=\frac{1}{3}$

1) Аналіз:
Оскільки коефіцієнт $k=\frac{1}{3}<1$, маємо:

Точка $A^{\prime }$ лежить між точками $O$ та $A$. Довжина відрізка $A{A}^{\prime }$ дорівнює:

Звідси знаходимо відстань $O{A}^{\prime }$:

Отже, відстань від точки $A^{\prime }$ до шуканого центра $O$ дорівнює половині довжини відрізка $A{A}^{\prime }$.

2) Побудова:

• Проводимо пряму через точки $A$ та $A^{\prime }$.
• За допомогою циркуля та лінійки ділимо відрізок $A{A}^{\prime }$ навпіл.
• На промені $A{A}^{\prime }$ за точкою $A^{\prime }$ відкладаємо відрізок $A^{\prime }O$, довжина якого дорівнює половині довжини відрізка $A{A}^{\prime }$ ($A^{\prime }O=\frac{1}{2}\cdot A{A}^{\prime }$).
• Точка $O$ — шуканий центр гомотетії.

Схема побудови:

Відповідь:

1) Точка $O$ будується на промені $A^{\prime }A$ за точкою $A$ так, що $AO=A{A}^{\prime }$ (точка $A$ є серединою відрізка $O{A}^{\prime }$).

2) Точка $O$ будується на промені $A{A}^{\prime }$ за точкою $A^{\prime }$ так, що $A^{\prime }O=\frac{1}{2}\cdot A{A}^{\prime }$ (відрізок $A{A}^{\prime }$ ділиться навпіл, і його половина відкладається від точки $A^{\prime }$).