Завдання № 1.10. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте прямокутник, гомотетичний даному, із центром гомотетії в точці перетину його діагоналей і коефіцієнтом гомотетії $k = 2$ .

Покроковий розв’язок:

1. Теоретичні відомості
Гомотетією із центром $O$ та коефіцієнтом $k$ ( $k > 0$ ) називають геометричне перетворення, за якого кожній точці $X$ ставиться у відповідність точка $X^{'}$ на промені $O X$ така, що:

O X^{'} = k \cdot O X

Або у векторній формі:

O X^{'} = k \cdot O X

За властивостями гомотетії образ будь-якого многокутника є подібним йому многокутником із відповідними паралельними сторонами.

2. Алгоритм побудови

1) Нехай дано прямокутник $A B C D$ , а точка $O$ — точка перетину його діагоналей $A C$ і $B D$ . Точка $O$ є центром гомотетії.

2) Проведемо промені $O A$ , $O B$ , $O C$ та $O D$ . Оскільки діагоналі прямокутника перетинаються в точці $O$ , ці промені лежать на прямих $A C$ та $B D$ .

3) Оскільки коефіцієнт гомотетії $k = 2 > 0$ , відкладаємо від точки $O$ на відповідних променях подвоєні відстані:

на промені $O A$ відкладаємо відрізок $O A^{'} = 2 \cdot O A$ ;
на промені $O B$ відкладаємо відрізок $O B^{'} = 2 \cdot O B$ ;
на промені $O C$ відкладаємо відрізок $O C^{'} = 2 \cdot O C$ ;
на промені $O D$ відкладаємо відрізок $O D^{'} = 2 \cdot O D$ .

4) Сполучаємо послідовно побудовані точки $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ і $D^{'}$ відрізками.

3. Обґрунтування
За побудовою:

O A^{'} = 2 \cdot O A, O B^{'} = 2 \cdot O B, O C^{'} = 2 \cdot O C, O D^{'} = 2 \cdot O D

Отже, точки $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ є образами вершин $A$ , $B$ , $C$ , $D$ при гомотетії із центром $O$ та коефіцієнтом $k = 2$ . Оскільки гомотетія переводить прямокутник у прямокутник, чотирикутник $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ є шуканим прямокутником.

Відповідь:
Прямокутник $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ — шуканий образ прямокутника $A B C D$ при гомотетії із центром у точці перетину його діагоналей $O$ та коефіцієнтом $k = 2$ . Побудова виконується відкладанням на променях $O A$ , $O B$ , $O C$ , $O D$ подвоєних відстаней від центра: $O A^{'} = 2 \cdot O A$ , $O B^{'} = 2 \cdot O B$ , $O C^{'} = 2 \cdot O C$ , $O D^{'} = 2 \cdot O D$ .

Завдання № 1.10. Додаток (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку