9. Учимося розв’язувати задачі

Зміст

1. Камінь масою 500 г кинули вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. Визначте кінетичну і потенціальну енергії каменя на висоті 10 м.

Дано:

• $m=0,5$ кг
• $v_0=20$ м/с
• $h=10$ м

Знайти: $E_k=?$, $E_p=?$

Розв’язання:

Використаємо закон збереження механічної енергії: $E=E_k+E_p$.

Початкова кінетична енергія:

$E_{k0}=\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 400=100$ Дж

Потенціальна енергія на висоті $h$:

$E_p=mgh=0,5\cdot 10\cdot 10=50$ Дж

Кінетична енергія на висоті $h$:

$E_k=E_{k0}-E_p=100-50=50$ Дж

Відповідь: $E_k=50$ Дж, $E_p=50$ Дж

2. Тіло, що перебувало в стані спокою, падає з висоти 20 м. На якій висоті швидкість руху тіла дорівнюватиме 10 м/с?

Дано:

• $h_0=20$ м
• $v_0=0$ м/с
• $v=10$ м/с

Знайти: $h=?$

Розв’язання:

Використаємо закон збереження механічної енергії: $E_{p0}=E_k+E_p$.

Початкова потенціальна енергія:

$E_{p0}=mg{h}_0$

Енергія на висоті $h$:

$\frac{1}{2}m{v}^2+mgh=mg{h}_0$

Спрощуємо (масу скасовуємо):

$\frac{1}{2}{v}^2+gh=g{h}_0$

$h=h_0-\frac{v^2}{2g}=20-\frac{100}{20}=20-5=15$ м

Відповідь: 15 м

3. Пружинний пістолет заряджають кулькою масою 6 г і стріляють угору. На яку висоту підніметься кулька, якщо пружину жорсткістю 180 Н/м було стиснуто на 4 см?

Дано:

• $m=0,006$ кг
• $k=180$ Н/м
• $x=0,04$ м
• $g\approx 10м/{с}^2$

Знайти: $h=?$

Розв’язання:

$E_{p,пружини}=E_{p,кульки}$

$\frac{k\cdot x^2}{2}=m\cdot g\cdot h$

$h=\frac{k\cdot x^2}{2\cdot m\cdot g}$

$h=\frac{180\cdot (0.04{)}^2}{2\cdot 0.006\cdot 10}=\frac{180\cdot 0.0016}{0.12}=\frac{0.288}{0.12}=2.4м$

Відповідь: 2,4 м

4. М’яч кинули вертикально вгору зі швидкістю 8 м/с. Визначте, на якій висоті швидкість руху м’яча зменшиться удвічі.

Дано:

• $v_0=8$ м/с
• $v=4$ м/с
• $g\approx 10м/{с}^2$

Знайти: $h=?$

Розв’язання:

Використаємо формулу для швидкості:

$v^2=v_0^2-2gh$.

$16=64-20h$

$20h=48$

$h=\frac{48}{20}=2,4$ м

Відповідь: 2,4 м

5. Кульку кинули горизонтально з висоти 4 м зі швидкістю 8 м/с. Визначте швидкість руху кульки в момент падіння на поверхню землі.

Дано:

• $h=4$ м
• $v_x=8$ м/с
• $g\approx 10м/{с}^2$

Знайти: $v=?$

Розв’язання:

$E_{k0}+E_{p0}=E_k$

$\frac{m\cdot v_0^2}{2}+m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot v^2}{2}$

$\frac{v_0^2}{2}+g\cdot h=\frac{v^2}{2}$

$v^2=v_0^2+2\cdot g\cdot h$

$v=\sqrt{v_0^2+2\cdot g\cdot h}$

$v=\sqrt{8^2+2\cdot 10\cdot 4}=\sqrt{64+80}=\sqrt{144}=12м/с$

Відповідь: 12 м/с

6. Вантаж масою 40 кг скинули з літака. Після того як на висоті 400 м швидкість руху вантажу досягла 20 м/с, він почав рухатися рівномірно. Визначте: 1) повну механічну енергію вантажу: а) на висоті 400 м; б) в момент приземлення; 2) енергію, на яку перетворилася частина механічної енергії вантажу.

Дано:

• $m=40$ кг
• $h=400$ м
• $v=20$ м/с
• $g\approx 10м/{с}^2$

Знайти: $E_{мех,400}=?$, $E_{мех,0}=?$, $\Delta E-?$

Розв’язання:

$E_1=E_{k1}+E_{p1}=\frac{m\cdot v^2}{2}+m\cdot g\cdot h_1$

$E_1=\frac{40\cdot 20^2}{2}+40\cdot 10\cdot 400=\frac{40\cdot 400}{2}+160000=8000+160000=168000Дж=168кДж$

$E_2=E_{k2}+E_{p2}=\frac{m\cdot v^2}{2}+m\cdot g\cdot h_2$

$E_2=\frac{40\cdot 20^2}{2}+0=8000Дж=8кДж$

$\Delta E=E_1-E_2$

$\Delta E=168000-8000=160000Дж=160кДж$

Відповідь: 1 а) 168 кДж; 1 б) 8 кДж; 2) 160 кДж

7. Складіть задачу, обернену до задачі, розв’язання якої подано на заставці до § 9, і розв’яжіть її.

Кулька масою $0,05$ кг вилітає з пружинного пістолета зі швидкістю $v=2$ м/с. Жорсткість пружини $$\begin{gathered} k=125 \\ ,\text{Н}/\text{м} \end{gathered}$$. На яку відстань $x_0$ потрібно стиснути пружину, щоб кулька отримала таку швидкість?

Дано:

• $m=0,05$ кг
• $v=2$ м/с
• $$\begin{gathered} k=125 \\ ,\text{Н}/\text{м} \end{gathered}$$

Знайти: $x_0=?$

Розв’язання

За законом збереження енергії:

$E_{пруж}=E_{кін}$

Потенціальна енергія пружини:

$E_{пруж}=\frac{k{x}_0^2}{2}$

Кінетична енергія кульки:

$E_{кін}=\frac{m{v}^2}{2}$

Прирівнюємо:

$\frac{k{x}_0^2}{2}=\frac{m{v}^2}{2}$

$k{x}_0^2=m{v}^2$

$x_0^2=\frac{m{v}^2}{k}$

$x_0=v\cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$

Підставимо числові значення:

$x_0=2\cdot \sqrt{\frac{0,05}{125}}$

$\frac{0,05}{125}=0,0004$

$\sqrt{0,0004}=0,02$

$$\begin{gathered} x_0=2\cdot 0,02=0,04 \\ ,\text{м}=4 \\ ,\text{см} \end{gathered}$$

Відповідь: Щоб кулька масою $0,05$ кг вилетіла з пружинного пістолета зі швидкістю $2$ м/с, пружину потрібно стиснути на $4$ см.