40. Паралельне з’єднання провідників

Зміст

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Назвіть характерну ознаку кола, яке містить паралельне з’єднання провідників.

Характерною ознакою кола з паралельним з’єднанням провідників є наявність розгалуження, де струм може проходити двома або більше шляхами (вітками), що мають спільну пару вузлових точок.

2. Порівняйте напругу на ділянці кола, яка складається з паралельно з’єднаних провідників, і напруги на кожному провіднику.

Загальна напруга на ділянці кола та напруга на кожному з паралельно з’єднаних провідників є однаковою.

3. Яким є співвідношення між силою струму в нерозгалуженій частині кола і силою струму в кожній вітці розгалуження?

Сила струму в нерозгалуженій частині кола дорівнює сумі сил струмів у кожній окремій вітці розгалуження.

4. За допомогою якої формули можна обчислити опір ділянки кола, яка складається з кількох паралельно з’єднаних провідників?

Загальний опір ділянки кола, що складається з n паралельно з’єднаних провідників, обчислюється за формулою: $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots + \dfrac{1}{R_n}$.

5. Чому споживачі електроенергії у вашій оселі з’єднано паралельно?

Таке з’єднання використовується тому, що воно забезпечує роботу кожного пристрою під однаковою напругою (220 В), на яку вони розраховані.

ВПРАВА № 40

1. Електричне коло складається з акумулятора та трьох з’єднаних паралельно електричних ламп. Накресліть електричну схему цього кола.

2. На рис. 1 зображено схему ділянки електричного кола. Відомо, що опір R1 становить 100 Ом, опір R2 — 150 Ом, показ амперметра — 2,4 А. Визначте напругу на ділянці

Дано:

$R_1 = 100$ Ом

$R_2 = 150$ Ом

$I = 2,4$ А

Знайти:

U − ?

Розв’язання:

Оскільки резистори з’єднані паралельно, загальний опір ділянки обчислюємо за формулою:

$R = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{100 \cdot 150}{100 + 150} = \dfrac{15000}{250} = 60\\ (\text{Ом})$.

За законом Ома для ділянки кола напруга дорівнює добутку загальної сили струму на загальний опір:

U = I ⋅ R = 2, 4 ⋅ 60 = 144 В.

Відповідь: Напруга на ділянці кола становить 144 В.

3. Дві електричні лампи з’єднали паралельно й приєднали до джерела струму, напруга на виході якого становить 120 В. Визначте силу струму в кожній лампі й у нерозгалуженій частині кола, якщо опір однієї лампи дорівнює 200 Ом, а іншої — 300 Ом.

Дано:

$U = 120$ В

$R_1 = 200$ Ом

$R_2 = 300$ Ом

Знайти:

$I_1 - ?

I_2 - ?

I - ?$

Розв’язання:

При паралельному з’єднанні напруга на кожній лампі однакова і дорівнює напрузі джерела:

$U_1 = U_2 = U = 120$ В. Силу струму в кожній лампі знайдемо за законом Ома:

$I_1 = \dfrac{U}{R_1} = \dfrac{120}{200} = 0,6\\ (\text{А})$.

$I_2 = \dfrac{U}{R_2} = \dfrac{120}{300} = 0,4\\ (\text{А})$.

Сила струму в нерозгалуженій частині кола дорівнює сумі сил струмів у вітках:

$I = I_1 + I_2 = 0,6 + 0,4 = 1,0 \text{ А}$

Відповідь: Сила струму в першій лампі — 0,6 А, у другій — 0,4 А, у нерозгалуженій частині кола — 1 А.

4. Однакові за довжиною та поперечним перерізом дроти — залізний, мідний і срібний — з’єднали паралельно та підключили до джерела струму. У якому дроті сила струму буде найбільшою?

Сила струму буде найбільшою у срібному дроті. При паралельному з’єднанні напруга на всіх провідниках однакова, тому, згідно із законом Ома (I=U/R), сила струму обернено пропорційна опору. Оскільки геометричні розміри дротів однакові, їхній опір залежить лише від питомого опору матеріалу ($R = \rho \dfrac{l}{S}$). Срібло має найменший питомий опір серед зазначених металів, тому опір срібного дроту буде найменшим, а сила струму в ньому — найбільшою.

5. Визначте загальний опір ділянки кола, зображеної на рис. 40.5, б, якщо R1=R6=7 Ом; R2=1 Ом; R3=5 Ом; R4=12 Ом; R5=4 Ом. Якою буде загальна сила струму в ділянці кола, якщо до неї прикласти напругу 4 В?

Дано:

$R_1 = 7$ Ом

$R_6 = 7$ Ом

$R_2 = 1$ Ом

$R_3 = 5$ Ом

$R_4 = 12$ Ом

$R_5 = 4$ Ом

$U = 4$ В

Знайти:

$R_{заг}$ – ?

$I_{заг}$ – ?

Розв’язання:

Знайдемо опір паралельної ділянки $R_4$ та $R_5$:

$R_{4,5} = \dfrac{R_4 \cdot R_5}{R_4 + R_5}$

$R_{4,5} = \dfrac{12 \cdot 4}{12 + 4} = \dfrac{48}{16} = 3 \\, \text{Ом}$

Розрахуємо опір гілок (послідовне з’єднання):

Ліва гілка ($R_1$ та $R_3$):

$R_{1,3} = R_1 + R_3 = 7 + 5 = 12 \\, \text{Ом}$

Права гілка ($R_2$ та ділянка $R_{4,5}$):

$R_{2,4,5} = R_2 + R_{4,5} = 1 + 3 = 4 \\, \text{Ом}$

Знайдемо загальний опір розгалуженої частини кола (паралельне з’єднання лівої та правої гілок):

$R_{\text{пар}} = \dfrac{R_{1,3} \cdot R_{2,4,5}}{R_{1,3} + R_{2,4,5}}$

$R_{\text{пар}} = \dfrac{12 \cdot 4}{12 + 4} = \dfrac{48}{16} = 3 \\, \text{Ом}$

Визначимо повний опір всього кола (послідовне з’єднання $R_{\text{пар}}$ та $R_6$):

$R_{\text{заг}} = R_{\text{пар}} + R_6$

$R_{\text{заг}} = 3 + 7 = 10 \\, \text{Ом}$

За законом Ома для ділянки кола знайдемо загальну силу струму:

$I = \dfrac{U}{R_{\text{заг}}}$

$I = \dfrac{4}{10} = 0,4 \\, \text{А}$

Відповідь: Загальний опір ділянки кола становить 10 Ом. Загальна сила струму дорівнює 0,4 А.

6. Визначте, чому дорівнює напруга на полюсах джерела струму, яке живить коло (рис. 2), якщо R1 = 3 Ом; R2 = 2 Ом; R3 = 8 Ом. Показ амперметра — 0,1 А.

Дано:

$R_1 = 3$ Ом

$R_2 = 2$ Ом, $R_3 = 8$ Ом

$I_3 = 0,1$ А (струм через $R_3$)

Знайти:

U − ?

Розв’язання:

Резистори _R_2 і _R_3 з’єднані паралельно, тому напруга на них однакова:

$U_{2,3} = U_3 = I_3 \cdot R_3 = 0,1 \cdot 8 = 0,8 \text{ В}$

Сила струму у вітці з _R_2:

$I_2 = \dfrac{U_{2,3}}{R_2} = \dfrac{0,8}{2} = 0,4\\ (\text{А})$

Загальна сила струму в колі (яка проходить через _R_1):

$I = I_2 + I_3 = 0,4 + 0,1 = 0,5 \text{ А}$

Напруга на резисторі _R_1:

$U_1 = I \cdot R_1 = 0,5 \cdot 3 = 1,5 \text{ (В)}$

Загальна напруга на полюсах джерела:

$U = U_1 + U_{2,3} = 1,5 + 0,8 = 2,3 \text{ (В)}$

Відповідь: Напруга на полюсах джерела струму дорівнює 2,3 В.

7. Ви маєте 4 резистори з опором R0 кожний. Скільки різних опорів і які саме ви можете отримати, використовуючи всі резистори одночасно?

1. Послідовне з’єднання всіх чотирьох: $4R_0$.
2. Паралельне з’єднання всіх чотирьох: $\dfrac{1}{4}R_0$.
3. Мішане (дві паралельні пари з’єднані послідовно або дві послідовні пари паралельно): $R_0$.
4. Три послідовно, ця група паралельно четвертому: $\dfrac{3}{4}R_0$.
5. Три паралельно, ця група послідовно з четвертим: $\dfrac{4}{3}R_0$.
6. Два послідовно, ця група паралельно двом іншим, що теж з’єднані паралельно між собою: $\dfrac{2}{5}R_0$.
7. Два паралельно, ця група послідовно з двома іншими (послідовними): $\dfrac{5}{2}R_0$.
8. Два послідовно (група $2R_0$) паралельно одному ($R_0$), і ця вся ділянка послідовно з четвертим: $\dfrac{5}{3}R_0$.
9. Два паралельно, послідовно з одним (група $\dfrac{3}{2}R_0$), і ця вся ділянка паралельно четвертому: $\dfrac{3}{5}R_0$.

8. Опір усіх резисторів на ділянці електричного кола (рис. 3) є однаковим і дорівнює 5 Ом. До ділянки кола прикладено незмінну напругу. Який ключ потрібно замкнути, щоб показ амперметра A2 був нижчим від показу амперметра A1? Яке значення сили струму буде показувати амперметр A1, якщо замкнути тільки ключ К1? Відомо, що амперметр A2 показує 300 мА, якщо всі ключі розімкнені.

Дано:

$R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R = 5 \\, \text{Ом}$

$U$ — незмінна.

Коли всі ключі розімкнені: $I_{A2} = 300 \\, \text{мА} = 0{,}3 \\, \text{А}$.

Знайти:

_I_1 — ?

Розв’язання:

Розглянемо випадок, коли всі ключі розімкнені.

1. Струм тече послідовно через резистори $R_1$ та $R_2$.
2. Гілка з $R_3$ не працює (ключ $K_2$ розімкнений).
3. Гілка з $R_4$ також відключена.
4. Амперметри $A_1$ та $A_2$ показують однаковий струм, оскільки з’єднання послідовне.

Загальний опір у цьому випадку:

$R_{\text{заг1}} = R_1 + R_2 = 5 + 5 = 10 \\, \text{Ом}$

Знаходимо напругу джерела за законом Ома:

$U = I \cdot R_{\text{заг1}} = 0{,}3 \\, \text{А} \cdot 10 \\, \text{Ом} = 3 \\, \text{В}$

Який ключ потрібно замкнути, щоб показ амперметра $A_2$ був нижчим від показу амперметра $A_1$?

Логіка:

• Амперметр $A_1$ вимірює загальний струм всього кола (він стоїть на вході).
• Амперметр $A_2$ стоїть в одній із гілок.
• Щоб $I_{A2}$ став меншим за $I_{A1}$ ($I_{A2} < I_{A1}$), струм після резистора $R_1$ повинен розгалузитися. Частина струму піде через $A_2$, а інша частина має піти в обхід нього.
• На схемі обхідний шлях проходить через резистор $R_3$. Щоб струм пішов туди, потрібно замкнути коло в цій гілці.

Відповідь: Потрібно замкнути ключ $K_2$.

Що покаже $A_1$, якщо замкнути тільки ключ $K_1$?

Аналіз з’єднання:

• Струм проходить через $R_1$ (послідовно).
• Далі проходить через амперметр $A_2$.
• Після $A_2$ струм доходить до вузла, де розділяється: одна частина йде на $R_2$, інша — через замкнутий ключ $K_1$ на резистор $R_4$.
• Оскільки виходи $R_2$ та $R_4$ з’єднані з виходом кола, ці два резистори з’єднані паралельно.

Розрахунок опору:

• Опір паралельної ділянки ($R_2$ і $R_4$):$R_{2,4} = \dfrac{R \cdot R}{R + R} = \dfrac{5 \cdot 5}{5 + 5} = 2{,}5 \\, \text{Ом}$
• Повний опір кола:$R_{\text{заг2}} = R_1 + R_{2,4} = 5 + 2{,}5 = 7{,}5 \\, \text{Ом}$

Розрахунок сили струму ($A_1$):

Використовуємо знайдену раніше напругу ($U = 3 \\, \text{В}$):

$I = \dfrac{U}{R_{\text{заг2}}} = \dfrac{3 \\, \text{В}}{7{,}5 \\, \text{Ом}} = 0{,}4 \\, \text{А}$

Відповідь: щоб $I_{A2} < I_{A1}$, потрібно замкнути ключ $K_2$. Якщо замкнути тільки $K_1$, амперметр $A_1$ покаже 0,4 А (або 400 мА).

9. Щоб виміряти силу струму, більшу за ту, на яку розрахований амперметр, можна скористатися тим самим амперметром: паралельно амперметру необхідно під’єднати резистор — шунт (рис. 4). У разі застосування шунта струм ділиться на дві частини: одна йде через амперметр, а друга — через шунт: I = IА +1ш . Шунт якого опору треба під’єднати паралельно амперметру опором 0,07 Ом, щоб збільшити межу вимірювання цього амперметра від 2 до 10 А?

Дано:

$R_A = 0,07$ Ом

$I_A = 2$ А (максимальний струм амперметра)

$I = 10$ А (необхідний струм)

Знайти:

$R_{ш}$ – ?

Розв’язання:

Визначимо, у скільки разів треба збільшити межу вимірювання:

$n = \dfrac{I}{I_A} = \dfrac{10 \text{ А}}{2 \text{ А}} = 5$.

Опір шунта обчислюється за формулою:

$R_{ш} = \dfrac{R_A}{n - 1}$.

$R_{ш} = \dfrac{0,07 \text{ Ом}}{5 - 1} = \dfrac{0,07}{4} = 0,0175$ Ом.

Відповідь: треба під’єднати шунт опором 7,5 мОм.

10. Складіть задачу за рис. 40.2 і розв’яжіть її.

Задача. Обчисліть загальний опір ділянки кола AD, зображеної на рис. 40.2, якщо опір кожного з резисторів _R_1 − _R_6 становить 12 Ом.

Дано:

_R_1 = _R_2 = _R_3 = _R_4 = _R_5 = _R_6 = 12 Ом

Знайти:

Rзаг — ?

Розв’язання:

Резистори _R_1 і _R_2 з’єднані паралельно між вузлами A і B:

$R_{AB} = \dfrac{R_1}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$ Ом.

Резистори _R_3, _R_4 і _R_5 з’єднані паралельно між вузлами C і D:

$R_{CD} = \dfrac{R_3}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ Ом.

Ділянки AB та CD з’єднані послідовно, утворюючи верхню вітку:

$R_{верх} = R_{AB} + R_{CD} = 6 + 4 = 10 \text{ (Ом)}.$

Резистор _R_6 під’єднаний паралельно до всієї ділянки:

$R_{заг} = \frac{R_{верх} \cdot R_6}{R_{верх} + R_6} = \frac{10 \cdot 12}{10 + 12} = \frac{120}{22} \approx 5,45 \text{ (Ом)}$

Відповідь: загальний опір ділянки становить приблизно 5,45 Ом.