§2. Важіль. Момент сили. Умова рівноваги важеля

Зміст

Що таке важіль?

Важіль — це будь-яке тверде тіло, що може обертатися навколо нерухомої точки опори.

Наведіть приклади застосування важеля.

Важелі ми бачимо щодня: ножиці, дитяча гойдалка, лом, ваги, щипці чи гайковий ключ.

Дайте означення плеча сили.

Плече сили — це найкоротша відстань від точки опори до лінії, вздовж якої діє сила.

Якою рівністю записують правило важеля?

Правило важеля виражається формулою $F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$, де $F_1$ і $F_2$ — це сили, а $d_1$ і $d_2$ — їхні плечі.

Дайте означення моменту сили.

Момент сили показує обертальну дію сили і дорівнює добутку цієї сили на її плече: $M = F \cdot d$.

Якою є одиниця моменту сили в СІ?

У Міжнародній системі одиниць (СІ) момент сили вимірюють у ньютон-метрах (Н·м).

Сформулюйте правило моментів.

Щоб важіль перебував у рівновазі, сума моментів сил, що обертають його в одному напрямку, повинна дорівнювати сумі моментів сил, що обертають його у протилежному. Все має бути в балансі.

Чи завжди важіль застосовують для отримання виграшу в силі? Наведіть приклади.

Ні, не завжди. Іноді нам потрібен виграш у відстані. Наприклад, веслами гребуть, щоб їх кінці у воді проходили більший шлях, завдяки чому човен пливе швидше.

Вправа 2

1. Маса якої людини на рис. 1 є більшою? Поясніть свою відповідь.

Більшу масу має хлопчик праворуч. Гойдалка є важелем у рівновазі, тому моменти сил з обох боків однакові: $F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$. Оскільки хлопчик сидить ближче до осі обертання (його плече $d$ менше), його вага (сила $F$) має бути більшою, щоб зрівноважити дівчинку, яка сидить далі.

2. Розгляньте рис. 2. Який важіль застосовують для виграшу в силі, а який — для виграшу у відстані? Відповідь обгрунтуйте.

Весло дає виграш у відстані. Руки весляра знаходяться між точкою опори (кріпленням весла) і водою, що дозволяє кінцю весла проходити більший шлях, прискорюючи човен. Молоток-цвяходер, навпаки, дає виграш у силі. Прикладаючи силу до довгої ручки, ми створюємо набагато більшу силу на короткому кінці, що дозволяє легко витягувати цвяхи.

3. Вага вантажу 1 становить 90 Н (рис. 3). Визначте вагу вантажу 2.

Дано:

• $F_1 = 90 \text{ Н}$
• $d_1$ = 3 поділки
• $d_2$ = 5 поділок

Знайти:

• $F_2 = ?$

Розв’язання:

Використовуємо правило важеля для рівноваги:

• $F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$
• $F_2 = F_1 \cdot \dfrac{d_1}{d_2} = 90 \text{ Н} \cdot \dfrac{3}{5} = 54 \text{ Н}$

Відповідь: Вага вантажу 2 дорівнює $54 \text{ Н}$.

4. Визначте масу вантажу (рис. 4), якщо на правий кінець важеля діє сила $40 \text{ Н}$.

Дано:

• $F_1 = 40 \text{ Н}$
• $d_1 = 2$
• $d_2 = 8$ 

Знайти:

• $m = ?$

Розв’язання:

Застосовуємо правило важеля:

• $F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$
• $F_1 = m \cdot g$, $F_2 = 40 \text{ Н}$
• $m \cdot g \cdot 2 = 40 \cdot 6$
• $m = \dfrac{40 \cdot 8}{10 \cdot 2} = \dfrac{320}{20} = 16 \text{ кг}$

Відповідь: Маса вантажу дорівнює $16 \text{ кг}$.

5. Загальна маса вантажів на рис. 5 становить $48 \text{ кг}$. Визначте масу кожного вантажу.

Дано:

• $m_1 + m_2 = 48 \text{ кг}$
• $d_1 = 5$
• $d_2 = 3$

Знайти:

• $m_1 = ?$
• $m_2 = ?$

Розв’язання:

З правила важеля:

• $m_1 \cdot d_1 = m_2 \cdot d_2$
• $m_1 \cdot 5 = m_2 \cdot 3$
• $m_1 = \dfrac{3}{5} m_2$

Підставляємо у рівняння загальної маси:

• $\dfrac{3}{5} m_2 + m_2 = 48$
• $\dfrac{8}{5} m_2 = 48$
• $m_2 = 48 \cdot \dfrac{5}{8} = 30 \text{ кг}$
• $m_1 = 48 - 30 = 18 \text{ кг}$

Відповідь: Маса першого вантажу становить $18 \text{ кг}$, другого — $30 \text{ кг}$.

6. До кінців тонкого однорідного стрижня завдовжки $2 \text{ м}$ підвішено вантажі масами $14$ і $26 \text{ кг}$. На якій відстані від середини стрижня слід розмістити опору, щоб стрижень перебував у рівновазі?

Дано:

• $L = 2 \text{ м}$
• $m_1 = 14 \text{ кг}$
• $m_2 = 26 \text{ кг}$

Знайти:

• $x = ?$

Розв’язання:

Припустимо, що опора розташована на відстані $x$ праворуч від середини.

Відстань від опори до $m_1$: $d_1 = 1 + x$

Відстань від опори до $m_2$: $d_2 = 1 - x$

За правилом важеля:

• $m_1 \cdot d_1 = m_2 \cdot d_2$
• $14 \cdot (1 + x) = 26 \cdot (1 - x)$
• $14 + 14x = 26 - 26x$
• $40x = 12$
• $x = 0{,}3 \text{ м}$

Відповідь: Опору потрібно розмістити на відстані $0{,}3 \text{ м}$ праворуч від середини стрижня.

7. Розгляньте рис. 6 і поясніть: чому ножиці для різання металу мають довгі ручки, а для різання тканини — короткі; як «працює» гайковий ключ; яким ключем легше відкрутити гайку — з довгою ручкою чи з короткою.

Відповідь:

Ножиці для металу мають довгі ручки через принцип важеля — більше плече сили дає більший момент при однаковому зусиллі. Це полегшує різання твердих матеріалів. Для тканини великих зусиль не треба, тому ручки роблять короткими для швидкості роботи.

Гайковий ключ працює як важіль: довша ручка створює більший момент сили при тому ж зусиллі руки.

Ключем з довгою ручкою легше відкрутити гайку, адже при більшому плечі потрібна менша сила для створення необхідного моменту.

8. Маса вантажу 1 — $10 \text{ кг}$, вантажу 2 — $5 \text{ кг}$ (рис. 7). Визначте масу вантажу 3. З якою силою важіль тисне на опору?

Дано:

• $m_1 = 10 \text{ кг}$ (лівий кінець)
• $m_2 = 5 \text{ кг}$ (середина)
• $m_3 = ?$ (правий кінець)
• $d_1 = 5$
• $d_2 = 2$
• $d_3 = 3$

Знайти:

• $m_3 = ?$
• $N = ?$

Розв’язання:

Для рівноваги важеля сума моментів сил по різні боки від опори має бути однаковою:

• $m_1 d_1 + m_2 d_2 = m_3 d_3$
• $10 \cdot 5 + 5 \cdot 2 = m_3 \cdot 3$
• $50 + 10 = 3 m_3$
• $m_3 = \dfrac{60}{3} = 20 \text{ кг}$

Сила тиску важеля на опору дорівнює сумі ваг усіх вантажів:

• $N = (m_1 + m_2 + m_3) \cdot g$
• $N = (10 + 5 + 20) \cdot 10 = 350 \text{ Н}$

Відповідь: $m_3 = 20 \text{ кг}$, $N = 350 \text{ Н}$

9. Розв’яжіть задачу, розглянуту в § 2, урахувавши, що маса важеля — $500 \text{ г}$.

Дано:

• $m_2 = 4 \text{ кг}$
• $d_1 = 5a$
• $d_2 = 3a$
• $m_{важ} = 0{,}5 \text{ кг}$

Знайти:

• $m_1 = ?$

Розв’язання:

Для знаходження рівноваги потрібно врахувати момент сили ваги самого важеля ($M_в$). Він діє в тому ж напрямку, що й момент сили першого вантажу ($M_1$). Тому умова рівноваги, або правило моментів, запишеться так:

$M_1 + M_в = M_2$

Розпишемо моменти через маси та плечі сил ($d_1 = 5a$, $d_2 = 3a$, плече ваги важеля $d_в = a$):

$m_1 g d_1 + m_{в} g d_{в} = m_2 g d_2$

Після скорочення на $g$ та підстановки відомих значень ($m_в = 0.5$ кг, $m_2 = 4$ кг) отримаємо:

$m_1 \cdot 5a + 0.5 \cdot a = 4 \cdot 3a$

Розділимо обидві частини рівняння на $a$:

$5m_1 + 0.5 = 12$

$5m_1 = 11.5$

$m_1 = 2.3 кг$

Відповідь: маса першого вантажу становить 2.3 кг.

10. Знайдіть відомості про важелі в тілі людини (див. рис. 8). Складіть задачу за цими відомостями й розв’яжіть її.

Відомості: Кістки та м’язи людського тіла працюють як важелі. При згинанні руки в лікті опорою служить ліктьовий суглоб, м’язова сила прикладається близько до опори, а навантаження — далі від неї.

Задача: М’яз кріпиться на відстані $d_1 = 4 \text{ см}$ від ліктя, а вантаж тримається на відстані $d_2 = 32 \text{ см}$. Маса вантажу — $5 \text{ кг}$. Яку силу повинен розвивати м’яз для утримання вантажу?

Дано:

• $d_1 = 0{,}04 \text{ м}$
• $d_2 = 0{,}32 \text{ м}$
• $m = 5 \text{ кг}$

Знайти:

• $F_{м’яз} = ?$

Розв’язання:

• $F_{м’яз} \cdot d_1 = m g \cdot d_2$
• $F_{м’яз} = \dfrac{m g \cdot d_2}{d_1} = \dfrac{5 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}32}{0{,}04} = 392 \text{ Н}$

Відповідь: М’яз має розвивати силу $392 \text{ Н}$ для утримання вантажу масою $5 \text{ кг}$ на відстані $32 \text{ см}$ від ліктя.